Question

在经济学中，函数f（x）的边际函数定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）．某公司每月生产x台某种产品的收入为R（x）元，成本为C（X）元，且R（x）=3000x-20x²，C（x）=500x+4000（x∈N^*）．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．
（I）求利润函数P（x）I以及它的边际利润函数MP（x）；
（II）求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差．

Answer

（I）由“利润等于收入与成本之差．”可求得利润函数p（x），由“边际函数为Mf（x），定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）”可求得边际函数；
（II）由二次函数法研究p（x）的最大值，由一次函数法研究Mp（x），对照结果即可．
【解析】
（I）根据题意：
p（x）=R（x）-C（x）=-20x2+2500x-4000，（x≤100）．
Mp（x）=p（x+1）-p（x）
=-20（x+1+x）（x+1-x）+2500（x+1-x）
=-40x+2480（x≤100）．
（II）∵p（x）=-20x2+2500x-4000
=-20（x-62.5）2+74125
∴当x=62，63时，函数最大值为：74120
∵Mp（x）=-40x+2480
∴当x=0时，函数最大值为：2480
所以利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为：74120-2480=71680元．