Question

已知某椭圆的焦点是F₁（-4，0）、F₂（4，0），过点F₂，并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F₁B|+|F₂B|=10．椭圆上不同的两点A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）满足条件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列．
（1）求该椭圆的方程；
（2）求弦AC中点的横坐标；
（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围．

Answer

（1）由椭圆定义及条件知2a=|F1B|+|F2B|=10，得a=5．又c=4，所以b==3．由此可知椭圆方程为+=1．
（2）由点B（4，yB）在椭圆上，得|F2B|=|yB|=．因为椭圆右准线方程为x=，离心率为．根据椭圆定义，有|F2A|=（-x1），|F2C|=（-x2）．由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得x1+x2=8．由此可知x===4．
（3）由A（x1，y1），C（x2，y2）在椭圆上，得9（）+25（）（）=0（x1≠x2）．将=x=4，=y，=-（k≠0）代入上式，得9×4+25y（-）=0（k≠0）．由此可求出m的取值范围．
（1）【解析】
由椭圆定义及条件知
2a=|F1B|+|F2B|=10，得a=5．又c=4，
所以b==3．
故椭圆方程为+=1．
（2）【解析】
由点B（4，yB）在椭圆上，得|F2B|=|yB|=．
因为椭圆右准线方程为x=，离心率为．
根据椭圆定义，有|F2A|=（-x1），|F2C|=（-x2）．
由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得（-x1）+（-x2）=2×．
由此得出x1+x2=8．
设弦AC的中点为P（x，y），
则x===4．
（3）【解析】
由A（x1，y1），C（x2，y2）在椭圆上，得
9x12+25y12=9×25，④
9x22+25y22=9×25．⑤
由④-⑤得9（x12-x22）+25（y12-y22）=0，
即9（）+25（）（）=0（x1≠x2）．
将=x=4，=y，=-（k≠0）代入上式，得
9×4+25y（-）=0（k≠0）．
由上式得k=y（当k=0时也成立）．
由点P（4，y）在弦AC的垂直平分线上，得
y=4k+m，
所以m=y-4k=y-y=-y．
由P（4，y）在线段BB′（B′与B关于x轴对称）的内部，得-＜y＜．
所以-＜m＜．