Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足（g是常数，且（q＞0，q≠1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当时，试证明；
（Ⅲ）设函数．f（x）=log_qx，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），使对n∈N^*？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（I ）由an=Sn-Sn-1=（an-1-1）知 ，由S1=a1=（a1-1）得a1=q，由此知an=q•qn-1=qn．
（II）由于，故可证明；
（III）bn=logqa1+logqa2+…+logqan=logq（a1a2…an）=所以 由此能求出m的值．
【解析】
（I ）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（an-1-1），∴，又由S1=a1=（a1-1）得a1=q，∴数列an是首项a1=q、公比为q的等比数列，∴an=q•qn-1=qn
（II）
（III）bn=logqa1+logqa2+…+logqan=logq（a1a2…an）=
∴，∴即
∵n=1时，，∴m≤3，∵m是正整数，∴m的值为1，2，3