Question

点P是直线2x+y+10=0上的动点，直线PA、PB分别切圆x²+y²=4于A、B两点，则四边形PAOB（O为坐标原点）的面积的最小值=    ．

Answer

由题意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB则要求SPAOB=2S△PAO=的最小值，转化为求PA最小值，由于PA2=PO2-4，当PO最小时，PA最小，结合点到直线的距离公式可知当PO⊥l时，PO有最小值，由点到直线的距离公式可求
【解析】
由题意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB
SPAOB=2S△PAO=
又∵在Rt△PAO中，由勾股定理可得，PA2=PO2-4，当PO最小时，PA最小，此时所求的面积也最小
点P是直线l：2x+y+10=0上的动点，
当PO⊥l时，PO有最小值d=，PA=4
所求四边形PAOB的面积的最小值为8
故答案为：8