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已知圆方程x2+y2-2ax-4ay+5a2-4=0(a∈R). (1)求圆的半...

已知圆方程x2+y2-2ax-4ay+5a2-4=0(a∈R).
(1)求圆的半径,圆心坐标并求出圆心坐标所满足的直线方程;
(2)试问:是否存在直线l,使对任意a∈R,直线l被圆截得的弦长均为2,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
(1)根据题意可得圆的标准方程为(x-a)2+(y-2a)2=4,即可得到半径与圆心坐标,进而得到圆心所在的直线方程. (2)根据题意可得:所求直线必须平行于直线y=2x,所以设所求直线的方程为y=2x+b,再根据半弦长、半径与弦心距的关系为,可得圆心到直线的距离,进而结合点到直线的距离公式计算出b的数值,得到答案. 【解析】 (1)根据题意可得圆的方程为(x-a)2+(y-2a)2=4, 所以半径为2,圆心坐标为(a,2a), 所以圆心坐标满足的直线方程为y=2x. (2)因为圆心在直线y=2x上,并且对任意a∈R,直线l被圆截得的弦长均为2, 所以所求直线必须平行于直线y=2x, 所以设所求直线的方程为y=2x+b, 因为该直线被圆截得的弦长均为2,并且半弦长、半径与弦心距的关系为, 所以, 所以圆心(a,2a)到该直线的距离为,则, 解的, 所以直线方程为y=2x.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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