Question

已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）=f（-x），且当x∈[1，+∞）时，f（x）=x，则满足f（2x）＜f（x）的x的取值范围是    ．

Answer

由函数f（x）满足f（x+2）=f（-x），得到函数图象关于x=1对称，从而由x∈[1，+∞）时，f（x）=x，得出x∈（-∞，1）时，f（x）的解析式，确定出f（x）在R上的分段函数解析式，然后由2x小于0，大于0小于1，大于1小于2，大于2，四种情况分类讨论分别代入相应的函数解析式中求出f（2x）＜f（x）的解集，即可得到满足题意的x的范围．
【解析】
函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）=f（-x），
得到函数图象关于x=1对称，
又当x∈[1，+∞）时，f（x）=x，得到x∈（-∞，1）时，f（x）=-x+2，
∴f（x）=，
①当2x＜0，即x＜0时，f（2x）=-2x+2，f（x）=-x+2，
由-2x+2＜-x+2，解得x＞0，矛盾；
②当0＜2x≤1，即0＜x≤时，f（2x）=-2x+2，f（x）=-x+2，
f（2x）＜f（x）恒成立；
③当2＞2x＞1，即1＞x＞时，f（2x）=2x，f（x）=-x+2，
即要2x＜-x+2，解答x＜；
④当2x＞2，即x＞1时，f（2x）=2x，f（x）=x，
即要2x＜x，解得x＜0，矛盾，
综上，满足f（2x）＜f（x）的x的取值范围（0，）．
故答案为：（0，）