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已知函数f(x)=x3-3ax+2(其中a为常数)有极大值18. (Ⅰ)求a的值...

已知函数f(x)=x3-3ax+2(其中a为常数)有极大值18.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若曲线y=f(x)过原点的切线与函数g(x)=2bx2-7x-3-b在[-1,1]上的图象有交点,试求b的取值范围.
(I)先对函数求导f′(x)=3x2-3a,分a>0,f′(x)≥0,a>0则,讨论函数的单调性,进而求解函数的极值,从而可求a (II)由题意可求切线方程y=-9x,由,在[-1,1]上的图象有交点,说明函数得函数h(x)=2bx2+2x-3-b在区间[-1,1]上有零点,利用方程的实根分别问题进行求解即可 【解析】 (1)f′(x)=3x2-3a 若a<0则可得f′(x)≥0,不合题意 若a>0则 可得∴a=4 (II)设切点为(x,y)而f(x)=x3-12x+2 故,则,故切线为y=-9x 由题意得,说明函数h(x)=2bx2+2x-3-b在区间[-1,1]上有零点 若b=0,则函数h(x)=2x-3在[-1,1]上没有零点 若a≠0,时分三种情况讨论: ①方程h(x)=0在区间[-1,1]上有重根,此时△=4(2b2+6b+1)=0,解得 当时,h(x)=0的重根 当时,h(x)=0的重根∉[-1,1] 故当方程h(x)=0在区间[-1,1]上有重根时,b= ②h(x)在区间[-1,1]上只有一个零点且不是h(x)=0的重根 此时有h(-1)h(1)≤0∵h(-1)=b-5,h(1)=b-1∴(b-5)(b-1)≤0⇒1≤b≤5 ∵当b=5时,方程h(x)=0在区间[-1,1]上有两个不同的实根 故当方程h(x)=0在区间[-1,1]上只有一个根且不是重根时,1≤b<5 ③方程h(x)=0在区间[-1,1]有两个不同的实根,则 综上可得,b的取值范围
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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