Question

已知圆C与y轴交于两点M（0，-2），N（0，2），且圆心C在直线2x-y-6=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）过圆C的圆心C作一直线，使它夹在两直线l₁：2x-y-2=0和l₂：x+y+3=0间的线段AB恰好被点C所平分，求此直线的方程．

Answer

（1）先由M，N的坐标确定圆心C的纵坐标为0，再根据圆心C在直线2x-y-6=0上，所以x=3，最后确定圆的半径，从而求出圆的方程；（2）先假设直线AB的方程为y=k（x-3），分别与l1，l2联立，利用中点坐标公式可求，同时注意斜率不存在情况的验证．
【解析】
（1）因为圆C与y轴交于两点M（0，-2），N（0，2），所以圆心C的纵坐标为0．
又因为圆心C在直线2x-y-6=0上，所以x=3．所以圆心C（3，0），半径．
所以圆C的方程为（x-3）2+y2=13．
（2）由（1）知圆心C（3，0），设A点的纵坐标为y1，B点的纵坐标为y2，
直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-3），分别与l1，l2联立得解得．解得．由中点坐标公式，有．即．所以k=8．
故所求直线方程为y=8（x-3）．即8x-y-24=0．
当k不存在时，过点C（3，0）的直线方程为x=3与l1交点为（3，4），与l2交点为（3，-6），
其中点（3，-1）与圆心C（3，0）不符，故x=3不是所求直线．