Question

已知过抛物线C：y²=4x的焦点作直线与C分别相交于A、B两点，点M在抛物线的准线上．命题甲：直线BM与x轴平行；命题乙：直线AM过坐标原点．那么，命题甲是命题乙成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

设过焦点的直线方程为x=my+1与抛物线方程联立，表示出A、B两点坐标的关系，再利用斜率研究是否A，B，C三点共线 或BM与x轴是否平行．
【解析】
设过焦点F（1，0）的直线方程为x=my+1 代入抛物线方程，消去x，并整理得，y2-4my-4=0，设A（x1，y1）B（x2，y2），则y1y2=-4，继而两边平方，16=16x1x2，∴x1x2=1
   若直线BM与x轴平行，则B（-1，y2），此时kOA====y2=kOM，k，o，m三点共线，即直线AM过坐标原点．
  反之，若直线AM过坐标原点，则直线AM的方程为 y=x，，与抛物线准线方程x=-1联立得B的纵坐标为y=-=-=y2，所以直线BM与x轴平行
 综上所述甲是乙成立的充要条件
 故选C