Question

△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且cosB=．
（1）求cotA+cotC的值；
（2）若•=，求a+c的值．

Answer

（1）首先求出sinB的值，再依据正弦定理及a、b、c成等比数列得出sin2B=sinAsinC，对cotA+cotC化简代入即可．
（2）通过•=求出cosB的值，进而求出b2的值．再利用余弦定理求出答案．
【解析】
（1）∵cosB=
∴sinB===
∵a、b、c成等比数列
∴b2=ac
∴依据正弦定理得：sin2B=sinAsinC
∴cotA+cotC
=+
=
=
=
=
=．
（2）∵•=，
∴ac•cosB=，
∵cosB=，
∴ac=2，即：b2=2．
∵b2=a2+c2-2ac•cosB
∴a2+c2=b2+2ac•cosB=5
∴（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9
故：a+c=3．