Question

已知椭圆的中心是坐标原点O，它的短轴长为2，右焦点为F，直线l：x=2与x轴相交于点E，，过点F的直线与椭圆相交于A，B两点，点C和点D在l上，且AD∥BC∥x轴．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）求证：直线AC经过线段EF的中点．

Answer

（I）设出椭圆的标准方程，根据短轴长求得b，进而根据 联立方程组，求得a和c，则椭圆的方程和离心率可得．
（II）根据F和E的坐标，求得N的坐标，当AB⊥x轴时A，B，C的坐标可知，进而求得AC中点的坐标，判断出AC经过线段EF的中点N；当AB不垂直x轴时，则直线AB斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x-1），分别表示出AN和CN的斜率，进而表示出两斜率之差求得结果为0，可知k1=k2且AN，CN有公共点N，进而可知A，C，N三点共线．推断出直线AC经过线段EF的中点N．最后综合可得结论．
【解析】
（I）设椭圆方程为：．
由2b=2得b=1．
又 ，∴解得 ．
∴椭圆方程为：．
离心率 ．
（II）∵点F（1，0），E（2，0），∴EF中点N的坐标为 ．
①当AB⊥x轴时，A（1，y1），B（1，-y1），C（2，-y1），
那么此时AC的中点为 ，即AC经过线段EF的中点N．
2当AB不垂直x轴时，则直线AB斜率存在，
设直线AB的方程为y=k（x-1），
由（*）式得 ．
又∵x12=2-2y12＜2，得 ，
故直线AN，CN的斜率分别为 ，
∴．
又∵（x1-1）-（x2-1）（2x1-3）=3（x1+x2）-2x1x2-4，
=．
∴k1-k2=0，即k1=k2．
且AN，CN有公共点N，∴A，C，N三点共线．
∴直线AC经过线段EF的中点N．
综上所述，直线AC经过线段EF的中点．