Question

设m个不全相等的正数a₁，a₂，…，a_m（m≥7）依次围成一个圆圈，
（Ⅰ）若m=2009，且a₁，a₂，…，a₁₀₀₅是公差为d的等差数列，而a₁，a₂₀₀₉，a₂₀₀₈，…，a₁₀₀₆是公比为q=d的等比数列；数列a₁，a₂，…，a_m的前n项和S_n（n≤m）满足：S₃=15，S₂₀₀₉=S₂₀₀₇+12a₁，求通项a_n（n≤m）；
（Ⅱ）若每个数a_n（n≤m）是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a₁+…+a₆+a₇²+…+a_m²＞ma₁a₂a_m．

Answer

（1）利用等比数列的性质，用a1、d表示出a2009、a2008，结合已知，列方程即可解出a1、d，进而求出an．
（2）通过探求数列的周期性或利用反证法求解．
【解析】
（I）因a1，a2009，a2008，a1006是公比为d的等比数列，
从而a2009=a1d，a2008=a1d2，
由S2009=S2007+12a1得a2008+a2009=12a1，
解得d=3或d=-4（舍去）．
∴d=3，
又S3=3a1+3d=15．解得a1=2
从而当n≤1005时，an=a1+（n-1）d=2+3（n-1）=3n-1
当1006≤n≤2009时，由a1，a2009，a2008，a1006是公比为d的等比数列
得an=a1d2009-（n-1）=a1d2010-n（1006≤n≤2009）
因此
（II）由题意an2=an-12an+12（1＜n＜m），am2=am-12a12，a12=am2a22
得
有①得④
由①，②，③得a1a2an=（a1a2an）2，
故a1a2an=1．⑤
又，
故有．⑥
下面反证法证明：m=6k
若不然，设m=6k+p，其中1≤p≤5
若取p=1即m=6k+1，则由⑥得am=a6k+1=a1，
而由③得，
得a2=1，由②得，
而④及⑥可推得an=1（1≤n≤m）与题设矛盾
同理若P=2，3，4，5均可得an=1（1≤n≤m）与题设矛盾，
因此m=6k为6的倍数
由均值不等式得
由上面三组数内必有一组不相等（否则a1=a2=a3=1，
从而a4=a5═am=1与题设矛盾），故等号不成立，
从而a1+a2+a3++a6＞6又m=6k，由④和⑥得
a72++am2=（a72++a122）++（a6k-52++a6k2）
=（k-1）（a12++a62）
=
因此由⑤得a1+a2+a3++a6+a72++am2＞6+6（k-1）=6k=m=ma1a2a3am