Question

对于每项均是正整数的数列A：a₁，a₂，…，a_n，定义变换T₁，T₁将数列A变换成数列T₁（A）：n，a₁-1，a₂-1，…，a_n-1．
对于每项均是非负整数的数列B：b₁，b₂，…，b_m，定义变换T₂，T₂将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T₂（B）；
又定义S（B）=2（b₁+2b₂+…+mb_m）+b₁²+b₂²+…+b_m²．设A是每项均为正整数的有穷数列，令A_k+1=T₂（T₁（A_k））（k=0，1，2，…）．
（Ⅰ）如果数列A为5，3，2，写出数列A₁，A₂；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T₁（A））=S（A）；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A，存在正整数K，当k≥K时，S（A_k+1）=S（A_k）．

Answer

（Ⅰ）由A：5，3，2，求得T1（A）再通过Ak+1=T2（T1（Ak））求解．
（Ⅱ）设有穷数列A求得T1（A）再求得S（T1（A）），由S（A）=2（a1+2a2++nan）+a12+a22++an2，两者作差比较．
（Ⅲ）设A是每项均为非负整数的数列a1，a2，，an．在存在1≤i＜j≤n，有ai≤aj时条件下，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，在存在1≤m＜n，使得am+1=am+2═an=0时条件下，若记数列a1，a2，…，am为C，Ak+1=T2（T1（Ak））s（Ak+1）≤S（T1（Ak））．由S（T1（Ak））=S（Ak），得到S（Ak+1）≤S（Ak）．S（Ak）是大于2的整数，所以经过有限步后，必有S（Ak）=S（Ak+1）=S（Ak+2）=0．
【解析】
（Ⅰ）【解析】
A：5，3，2，T1（A）：3，4，2，1，A1=T2（T1（A））：4，3，2，1；T1（A1）：4，3，2，1，0，A2=T2（T1（A1））：4，3，2，1．
（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A为a1，a2，，an，
则T1（A）为n，a1-1，a2-1，，an-1，
从而S（T1（A））=2[n+2（a1-1）+3（a2-1）++（n+1）（an-1）]+n2+（a1-1）2+（a2-1）2++（an-1）2．
又S（A）=2（a1+2a2++nan）+a12+a22++an2，
所以S（T1（A））-S（A）=2[n-2-3--（n+1）]+2（a1+a2++an）+n2-2（a1+a2++an）+n=-n（n+1）+n2+n=0，
故S（T1（A））=S（A）．
（Ⅲ）证明：设A是每项均为非负整数的数列a1，a2，，an．
当存在1≤i＜j≤n，使得ai≤aj时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，
则S（B）-S（A）=2（iaj+jai-iai-jaj）=2（i-j）（aj-ai）≤0．
当存在1≤m＜n，使得am+1=am+2═an=0时，若记数列a1，a2，，am为C，
则S（C）=S（A）．
所以S（T2（A））≤S（A）．
从而对于任意给定的数列A，由Ak+1=T2（T1（Ak））（k=0，1，2，）
可知S（Ak+1）≤S（T1（Ak））．
又由（Ⅱ）可知S（T1（Ak））=S（Ak），所以S（Ak+1）≤S（Ak）．
即对于k∈N，要么有S（Ak+1）=S（Ak），要么有S（Ak+1）≤S（Ak）-1．
因为S（Ak）是大于2的整数，所以经过有限步后，必有S（Ak）=S（Ak+1）=S（Ak+2）=0．
即存在正整数K，当k≥K时，S（Ak+1）=S（A）