若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为（） A．2...

若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为（）
A．2：1
B．3：1
C．4：1
D．5：1

设正三棱柱底面正三角形的边长为a，当球内切于正三棱柱时，球的半径R1等于正三棱柱的底面正三角形的边心距，求出正三棱柱的高为2R1，当球外接正三棱柱时，球心是正三棱柱上下底面中心连线段的中点，且球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，求出外接球的半径，即可求出内切球与外接球表面积之比．【解析】设正三棱柱底面正三角形的边长为a，当球内切于正三棱柱时，球的半径R1等于正三棱柱的底面正三角形的边心距，故正三棱柱的高为2×=，当球外接正三棱柱时，球心是上下底面中心连线段的中点，且球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，， ∴R2=a ∴外接球与内切球半径之比为R1：R2=a：=：1． ∴外接球与内切球表面积之比为5：1 故选D．

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