Question

已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=e^x-1．
（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+x²，a＞0，讨论F（x）的单调性：
（Ⅱ）对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），若都有f（x₂）-f（x₁）≤a（x₂-x₁）成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）对任意的x₂＞x₁＞0，试比较f（x₂）-f（x₁）与g（x₂-x₁）的大小并说明理由．

Answer

（I）根据条件中所给的函数构造新函数，要讨论函数的单调性，先对函数求导，讨论a的值，在a的不同取值下，写出函数的单调区间．
（II）设出自变量的大小关系，构造新函数，要证明函数在区间上是一个递减函数，得到函数的导函数在这个范围上不大于0恒成立，根据恒成立中常用的函数的最值的思想，得到结果．
（III）根据所给的要证明的两个代数式，构造出新函数，对新函数求导，根据导数判断函数的单调性，是一个单调递增函数，根据函数的单调性写出要证的结论．
【解析】
（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+x2，x∈（-1，+∞），a＞0
∴F′（x）=-（a+1）+ax=
当0＜a＜时，F（x）在（-1，1）和（-1，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减
当a=时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
当a时，F（x）在（-1，）和（1，+∞）上单增，在（，1）上单减，
当a=时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
（II）不妨设x2＞x1≥0，由题意得f（x2）-f（x1）≤ax2-ax1，
f（x2）-ax2≤f（x1）-ax1
∴令t（x）=f（x）-ax
∴∀x2＞x1≥0，总有t（x2）≤t（x1）
∴t（x）在[0，+∞）上单减，
∴在[0，+∞）上恒成立，
即a，
∴a≥1
（III）由（II）得，令a=1．得f（x2）-f（x1）≤x2-x1，
设h（x）=g（x）-x=ex-x-1（x＞0）
h′（x）=ex-1＞0
∴h（x）在[0，+∞）上单增，
∴h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞x
又∵x2-x1＞0，
∴g（x2-x1）＞x2-x1，
∴f（x2）-f（x1）≤x2-x1＜g（x2-x1）
∴f（x2）-f（x1）＜g（x2-x1）