Question

已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间，并判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）若不等式f（x²+2）≤f（2ax-a）的解集是A={x|x²-5x+4≤0}的子集，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求出函数的导数，令导数大于0，解出函数的递增区间，令导数小于0，求出函数的递减区间，此类函数的奇偶性可用等价形式证明，本题可以证明f（x）-f（-x）=0，来得出函数是偶函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）结论，不等式f（x2+2）≤f（2ax-a）等价于x2+2≤|a||2x-1|，再根据A=[1，4]，将不等式转化为x2+2-2|a|x+|a|≤0，若此不等式解集是空集，符合题意，若不是空集，则此不等式相应方程的根必在区间[1，4]内，由二次函数的性质转化为不等式，求解参数的范围．
【解析】
（Ⅰ），
当x∈[0，+∞）时，f′（x）≥0
∴f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，在（-∞，0）上是单调减函数
由∴f（x）为R上的偶函数
（Ⅱ）由x2+2＞0，f（2ax-a）=f（|2ax-a|）
从而不等式等价于：x2+2≤|a||2x-1|
又不等式x2-5x+4≤0的解集为A=[1，4]的子集，
故1≤x≤4，∴2x-1＞0
即x2+2-2|a|x+|a|≤0
1当△＜0时，不等式的解集为空集，满足条件，即|a|∈（-1，2）⇒|a|＜2成立；
2当△=0时，|a|=2，此时x2-4x+4≤0⇒x=2∈A成立；
3当△＞0时，|a|＞2，
设方程x2+2-2|a|x+|a|=0的两根为x1，x2，则
综上，