Question

已知双曲线C的中心在坐标原点，渐近线方程是3x±2y=0，左焦点的坐标为，A、B为双曲线C上的两个动点，满足•=0．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）动点P在线段AB上，满足•=0，求证：点P在定圆上．

Answer

（Ⅰ）由题意，能求出双曲线C的方程．
（Ⅱ）解法一：当过A、B两点的直线斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，由得，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理知．由，知，由此能导出为定值；当过A，B两点的直线斜率不存在时，设直线AB的方程为x=m，则可验证为定值．
解法二：设A（rcosθ，rsinθ）、B（kcosα，ksinα），则，点A在双曲线上，则．由得cos2α=sin2θ，cos2θ=sin2α，同理，．由此得为定值．
（Ⅲ）由三角形面积公式，得，所以，由此能够证明点P在定圆上．
【解析】
（Ⅰ）由题意，则由c2=a2+b2得a=2，b=3
所以双曲线C的方程为…（2分）
（Ⅱ）解法一：①当过A、B两点的直线斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，则
由得…（4分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
∴…（5分）
又，则x1x2+y1y2=0，
即，
∴5m2=36（k2+1）
满足△=64k2m2+16（m2+9）（9-4k2）=64m2+117＞0…（6分）
设原点O到直线AB的距离为d，
则，又由
∴
=
=，
∴为定值…（8分）
②当过A，B两点的直线斜率不存在时，设直线AB的方程为x=m，则可验证为定值…（10分）
解法二：设A（rcosθ，rsinθ）、B（kcosα，ksinα），则…（4分）
点A在双曲线上，则…（6分）
由得cos2α=sin2θ，cos2θ=sin2α
同理，…（8分）
所以为定值…（10分）
（Ⅲ）由三角形面积公式，得
所以
即
所以点P在以原点为圆心，半径的圆上…（13分）