Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n²-（a_n+2）S_n+1=0，1-S_n=a_nb_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若正项数列{c_n}满足，求证：．

Answer

（Ⅰ）求a1，a2的值只需要把n=1，2时代入即可顺利解答；
（Ⅱ）求通项公式需要利用重要性质：当n≥2时，an=Sn-Sn-1，本题这一问利用这个结论可以得到含Sn，Sn-1的关系式，求出前几项S1，S2，S3，猜想出Sn，然后用数学归纳法证明即可．
（Ⅲ）利用（II）的结论以及条件1-Sn=anbn很容易得到 bn的关系式，然后利用放缩法解答证明这一问，需要适当的变形．
【解析】
（Ⅰ），…（3分）
（Ⅱ） Sn2-（an+2）Sn+1=0…①
当n≥2时，an=Sn-Sn-1代入①式得SnSn-1-2Sn+1=0…②…（5分）
由 （Ⅰ） 知
猜想…（6分）
下用数学归纳法证明
（1°）n=1已证明；
（2°）假设
则n=k+1时Sk+1Sk-2Sk+1=0成立
综合1°，2°猜想成立．
∴当n≥2时，，当n=1时也满足，故
（Ⅲ）由（Ⅱ） bn=n，，则…（13分）