Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，E为棱A₁D₁中点．
（I）求二面角E-AC-B的正切值；
（II）求直线A₁C₁到平面EAC的距离．

Answer

（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC与F，连接EF，我们可得∠EFH即为二面角E-AC-B的补角，解三角形EFH后，即可求出二面角E-AC-B的正切值；
（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离，利用等体积法，我们根据=，即可求出直线A1C1到平面EAC的距离．
【解析】
（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC与F，连接EF，
则EF在平面ABCD内的射影为HF，由三垂线定理得EF⊥AC，，
∴∠EFH即为二面角E-AC-B的补角
∵EH=a，HF=BD=
∴∠tan∠EFH===2
∴二面角E-AC-B的正切值为-2…6分
（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离d，…8分
∵=
∴S△EAC•d=
∵EF===
∴S△EAC=•AC•EF=•a•=
而=••a=
∴•d=•a
∴d=
∴直线A1C1到平面EAC的距离