Question

若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=-1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．
（I）求曲线E的方程；
（II）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；
（III）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l上，求证：t与均为定值．

Answer

（1）由点C到定点M的距离等于到定直线l的距离与抛物线的定义可得点C的轨迹为抛物线所以曲线E的方程为x2=4y．
（2）由题得直线AB的方程是x-2y+12=0联立抛物线的方程解得A（6，9）和B（-4，4），进而直线NA的方程为，由A，B两点的坐标得到线段AB中垂线方程为，可求N点的坐标，进而求出圆N的方程．
（3）设A，B两点的坐标，由题意得过点A的切线方程为又Q（a，-1），可得x12-2ax1-4=0同理得x22-2ax2-4=0所以x1+x2=2a，x1x2=-4．所以直线AB的方程为
所以t=-1．根据向量的运算得=0．
【解】（Ⅰ）依题意，点C到定点M的距离等于到定直线l的距离，所以点C的轨迹为抛物线，曲线E的方程为x2=4y．
（Ⅱ）直线AB的方程是，即x-2y+12=0．
由及知，得A（6，9）和B（-4，4）
由x2=4y得，．
所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y'|x=6=3．
直线NA的方程为，即．①
线段AB的中点坐标为，线段AB中垂线方程为，即．②
由①、②解得．
于是，圆C的方程为，
即．
（Ⅲ）设，，Q（a，-1）．过点A的切线方程为，
即x12-2ax1-4=0．同理可得x22-2ax2-4=0，所以x1+x2=2a，x1x2=-4．
又=，所以直线AB的方程为，
即，亦即，所以t=-1．
而，，
所以
=
=．