Question

已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．
（I）当a=-1时，求f（x）的最大值；
（II）对f（x）图象上的任意不同两点P₁（x₁，x₂），P（x₂，y₂）（0＜x₁＜x₂），证明f（x）图象上存在点P（x，y），满足x₁＜x＜x₂，且f（x）图象上以P为切点的切线与直线P₁P₂平等；
（III）当时，设正项数列{a_n}满足：a_n+1=f'（a_n）（n∈N^*），若数列{a_2n}是递减数列，求a₁的取值范围．

Answer

（I）求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[1，e]上为增函数，所以f（1）为最小值，f（e）为最大值，求出即可；
（II）直线P1P2的斜率k由P1，P2两点坐标可表示为 ；由（1）知-x+lnx≤-1，当且仅当x=1时取等号；可得 +＜-1，整理可得 ＜，同理，由 ，得 ；所以P1P2的斜率 ，在x∈（x1，x2）上，有 ，可得结论．
【解析】
（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-x+lnx，．
对于x∈（0，1），有f'（x）＞0，∴f（x）在区间（0，1]上为增函数，
对于x∈（1，+∞），有f'（x）＜0，∴f（x）在区间（1，+∞）上为减函数，．
∴fmax（x）=f（1）=-1；
（II）直线P1P2的斜率为 ；
由（1）知-x+lnx≤-1，当且仅当x=1时取等号，
∴，
同理，由 ，可得 ；
故P1P2的斜率 ，
又在x∈（x1，x2）上，，
所以f（x）图象上存在点P（x，y），满足x1＜x＜x2，且f（x）图象上以P为切点的切线与直线P1P2平行；
（III）f（x）=，f′（x）=，∴an+1=+，
a3=，a4==＜a2⇒2a22-3a2-2＞0，
⇒（2a2+1）（a2-1）＞0⇒a2＞2⇒⇒0＜a1＜2，
下面我们证明：当0＜a1＜2时，a2n+2＜a2n，且a2n＞2（n∈N+）
事实上，当n=1时，0＜a1＜2⇒a2=，
a4-a2=⇒a4＜a2，结论成立．
若当n=k时结论成立，即a2k+2＜a2k，且a2k＞2，则
a2k+2=⇒a2k+4=，
a2k+4-a2k+2=
⇒a2k+4＜a2k+2，
由上述证明可知，a1的取值范围是（0，2）．