Question

已知由正数组成的两个数列{a_n}，{b_n}，如果a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2b_n²x+a_nb_nb_n+1=0的两根．
（1）求证：{b_n}为等差数列；
（2）已知a₁=2，a₂=6，分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（3）求数．

Answer

（1）根据题中已知条件和函数中根与系数的关系便可求出bn与bn-1、bn+1的关系，即可证明{bn}为等差数列；
（2）将a1=2，a2=6代入an+an+1=2bn2即可求出b1的值，进而求出{bn}的通项公式，然后将{bn}的通项公式代入an=bn-1bn即可求出数列{an}的通项公式；
（3）将数列{bn}的通项公式代入中即可求出其表达式，然后求出其前n项和Sn的表达式，然后利用错位相减法求出Sn的表达式，即可求出Sn的表达式．
【解析】
（1）由：an，an+1是关于x的方程x2-2bn2x+anbnbn+1=0的两根，
得：an+an+1=2bn2，anan+1=anbnbn+1…（2分）
∴2bn2=bn-1bn+bnbn+1，
∵bn＞0，
∴2bn=bn-1+bn+1（n＞1）
∴{bn}是等差数列              …（4分）
（2）由（1）知2b12=a1+a2=8，
∴b1=2，
∵a2=b1b2，
∴b2=3，
∴bn=n+1，
∴bn-1=n…（6分）
an=bn-1bn=n（n+1）（n＞1）…（7分）
又a1=2符合上式，∴an=n（n+1）…（9分）
（3）①
②
①-②得…（13分）
==
∴…（16分）