Question

如图所示在直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=，OA=OS=AB=1，OC=4，
点M是棱SB的中点，N是OC上的点，且ON：NC=1：3，以OC，OA，OS所在直线
建立空间直角坐标系O-xyz．
（1）求异面直线MN与BC所成角的余弦值；
（II）求MN与面SAB所成的角的正弦值．

Answer

（1）先以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，再求得相关点的坐标，再求的相关向量的坐标，最后用向量夹角公式求解．
（2）欲求MN与面SAB所成的角的正弦值，先利用待定系数法求出平面SAB的一个法向量，最后用向量夹角公式求解即可．
【解析】
如图建系，则S（0，0，1）C（4，0，0）A（0，1，0）B（1，1，0）
所以N（1，0，0）M（（2分）
（1）=（-3，1，0）cos＜（5分）
∴直线MN与BC所成角的余弦值为（6分）

（2）设平面SAB的一个法向量为
则=（a，b，c）•（1，1，-1）=a+b-c=0=（a，b，c）•（0，1，-1）=b-c=0
令b=1可得法向量（8分）
cos＜（9分）
∴直线MN与面SAB所成角的正弦值为（10分）