Question

设动圆M满足条件p：经过点，且与直线相切；记动圆圆心M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知点M₁为轨迹C上纵坐标为m的点，以M₁为圆心满足条件p的圆与x轴相交于点F、A（A在F的右侧），又直线AM₁与轨迹C相交于两个不同点M₁、M₂，当OM₁⊥OM₂（O为坐标原点）时，求m的值．

Answer

（Ⅰ）可以看出点M的轨迹是以F为焦点，以L为准线的抛物线．，就可求出对应轨迹C的方程；
（Ⅱ）先求出点M1和点点A的坐标以及直线AM1的方程，再把直线方程与抛物线方程联立，求出关于点M1、M2坐标的方程，借助于x1•x2+y1•y2=0即可求出m的值．
【解析】
（Ⅰ）由题得，点M到点F（，0）的距离与到直线x=-的距离相等．
所以点M的轨迹是以F为焦点，以L为准线的抛物线．
故所求轨迹C的方程为y2=2x．
（Ⅱ）因为M1在抛物线y2=2x
上，所以M1的坐标为（，m），则点A的坐标为（m2-，0），
又点A在点F右侧，所以必有m2＞1，
所以直线AM1的方程为y=（x-m2+）．
设M1（x1，y1），M2（x2，y2），
由⇒y2-y+=0，
显然△＞0，所以y1+y2=，y1•y2=1-2m2．x1•x2==，
当OM1⊥OM2时，有x1•x2+y1•y2=0．
即+1-2m2=0．
又m2＞1，∴m2=⇒m=..