Question

已知数列{a_n}的前n项和为，且当n≥2时，S_nS_n-1-3S_n+2=0．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）若，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列的前n项和为T_n，证明：．

Answer

（Ⅰ）本题可通过递推公式由首项a1求出数列的第二项和第三项．
（Ⅱ）由，用bn表示出Sn，然后代入SnSn-1-3Sn+2=0中，就可以求得数列{bn}的递推式，通过构造即可求得其通项公式．
（Ⅲ）要证不等式成立，需先求出Tn，需要利用前面的结论求出的通项公式，然后通过放缩即可证明不等式成立．
【解析】
（Ⅰ）∵当n≥2时，snsn-1-3sn+2=0，．
∴当n=2时，，解得．
则．
当n=3时，，解得，可得．

（Ⅱ）当n≥2时，snsn-1-3sn+2=0，由得，
于是，
化简，得bn=2bn-1-1，从而bn-1=2（bn-1-1），
∴{bn-1}是以2为公比的等比数列．∴bn-1=（b1-1）•2n-1=-2n+1，bn=-2n+1+1．

（Ⅲ）由（2），得====．
∴≤．
从而，