Question

设f（x）=，g（x）=-x+a（a＞0）
（1）若F（x）=f（x）+g（x），试求F（x）的单调递减区间；
（2）设G（x）=，试求a的值，使G（x）到直线x+y-1=0距离的最小值为；
（3）若不等式对x∈[1，4]恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）先求出F（x）=f（x）+g（x），的解析式，是一个关于的二次函数，对其配方后再由二次函数的性质研究其单调性，求出单调区间；
（2）根据G（x）的解析式作出图象的示意图，根据几何意义判断出G（x）图象上的点到直线x+y-1=0距离的最小值在点P处取到，由此建立起距离最小值的方程，求出a的值；
（3）不等式对x∈[1，4]恒成立，可通过等价变形逐步探究得出，解出a的取值范围．
【解析】
（1）∵F（x）=f（x）+g（x）=-x++a=-（-）2+a+，
易得当≥，即x∈[，+∞）时，F（x）单调递减
即函数的单调递减区间是[，+∞）
（2）G（x）=，其图象如图，
由图象得，所求的最小值即为点P到直线的距离，亦即两平行线x+y-1=0与x+y-a=0之间的距离
由，且a＞1，得a=3
（3）由得
即-1≤≤1
即0≤≤2对x∈[1，4]恒成立
当x=1，x=4分别代入得解得0＜a≤2-2