Question

如图所示，在直四棱柱M中，DB=BC，MN，点EN是棱MN上一点．
（1）求证B₁D₁∥面A₁BD；
（2）求证：MD⊥AC；
（3）试确定点M的位置，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．

Answer

（1）根据直四棱柱的几何特征，我们易得BB1D1D是平行四边形，即B1D1∥BD，结合线面平行的判定定理，即可得到B1D1∥面A1BD；
（2）根据直四棱柱的几何特征，我们易得BB1⊥面ABCD，即BB1⊥AC，又由BD⊥AC，线面垂直的判定定理，即可得到MD⊥AC；
（3）取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM．由N是DC中点，BD=BC，根据等腰三角形“三线合一”可得BN⊥DC，又由面ABCD⊥面DCC1D1，结合面面垂直的性质，可得BN⊥面DCC1D1，又由O是NN1的中点，可得四边形BMON是平行四边形，所以BN∥OM，则OM⊥平面CC1D1D，由面面垂直的判定定理，即可得到平面DMC1⊥平面CC1D1D．
【解析】
（1）证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1，且BB1=DD1，
所以BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD
而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，所以B1D1∥面A1BD
（2）证明：因为BB1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，所以BB1⊥AC
又因为BD⊥AC，且BD∩BB1=B，所以AC⊥面BB1D
而MD⊂面BB1D，所以MD⊥AC
（3）当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1平面CC1D1D
取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM．
因为N是DC中点，BD=BC，所以BN⊥DC；
又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线，而面ABCD⊥面DCC1D1，
所以BN⊥面DCC1D1
又可证得，O是NN1的中点，所以BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D，
因为OM⊂面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D