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已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面A...

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BA1⊥AC1
(I)求证:AC1⊥平面A1BC;
(II)求CC1到平面A1AB的距离;
(III)求二面角A-A1B-C的大小.

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(I)欲证AC1⊥平面A1BC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC1与平面A1BC内两相交直线垂直,BC⊥AC1,又BA1⊥AC1,满足定理条件; (II)取AA1中点F,则AA1⊥平面BCF,从而面A1AB⊥面BCF,过C作CH⊥BF于H,则CH⊥面A1AB,从而CH就是CC1到平面A1AB的距离,在Rt△BCF中,求出CH即可; (III)过H作HG⊥A1B于G,连CG,根据二面角平面角的定义知∠CGH为二面角A-A1B-C的平面角,在Rt△CGH中求出此角的正弦值即可. (I)证明:因为A1D⊥平面ABC,所以平面AA1C1C⊥平面ABC, 又BC⊥AC,所以BC⊥平面AA1C1C, 得BC⊥AC1,又BA1⊥AC1 所以AC1⊥平面A1BC;(4分) (II)【解析】 因为AC1⊥A1C,所以四边形AA1C1C为菱形, 故AA1=AC=2,又D为AC中点,知∠A1AC=60°. 取AA1中点F,则AA1⊥平面BCF,从而面A1AB⊥面BCF, 过C作CH⊥BF于H,则CH⊥面A1AB, 在Rt△BCF中,,故, 即CC1到平面A1AB的距离为(9分) (III)【解析】 过H作HG⊥A1B于G,连CG,则CG⊥A1B, 从而∠CGH为二面角A-A1B-C的平面角, 在Rt△A1BC中,A1C=BC=2,所以, 在Rt△CGH中,, 故二面角A-A1B-C的大小为.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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