Question

已知函数f（x）=（ax²-2x）e^-x（a∈R）．
（1）当a≥0时，求f（x）的极值点；
（2）设f（x）在[-1，1]上是单调函数，求出a的取值范围．

Answer

（1）求导，解方程f′（x）=0，分析根两侧导函数的符号，确定是否为极值点；（2）求导，求出函数的单调区间，根据f（x）在[-1，1]上是单调函数，探讨a的不等式，从而求得a的取值范围．
【解析】
（1）令f′（x）=e-x[-ax2+2（a+1）x-2]=0（a≥0）
当a=0时，解得：x=1
∵x＜1，f'（x）＜0；x＞1，f'（x）＞0
∴x=1时，f（x）取得极小值；
当a＞0时，
易得：，从而有下表

∴是函数的极小值点；是函数的极大值点．
（2）当a=0时，由（1）可知，函数在[-1，1]上单减，符合题意；
当a＞0时，若函数在[-1，1]上单增，则解得：a∈ϕ
若函数在[-1，1]上单减，则；或
解得：a∈ϕ
当a＜0时，
若函数在[-1，1]上单增，则；或
解得：a∈ϕ
若函数在[-1，1]上单减，则
解得：
综合得：时，函数在[-1，1]上是单减函数．