Question

设函数f（x）=x（x-1）²，x＞0．
（1）求f（x）的极值；
（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数的最小值；
（3）设函数g（x）=lnx-2x²+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．

Answer

（1）求导，令f′（x）=0得x=或x=1，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0得f（x）的单调性，确定函数f（x）的极值．
（2）由（1）知f（x）的单调性，以极值点为界，把a分成两类讨论，在两类分别求出F（a），求G（a），求G（a）最小值，两个最小值最小者，即为所求．
（3）把连等式分成两个不等式x+m-g（x）≥0和f（x）-x-m≥0在（0，+∞）上恒成立的问题，把不等式的左边看作一个函数，利用导数求最小值，两个范围求交集再由实数m有且只有一个，可求m，进而求t．
【解析】
（1）f′（x）=（x-1）2+2x（x-1）=3x2-4x+1=（3x-1）（x-1），x＞0．令f′（x）=0，得x=或x=1，f（x），f′（x）随x的变化情况如下表
∴当x=时，有极大值f（）=，当x=1时，有极小值f（1）=0．
（2）由（1）知：f（x）在（0，]，[1，+∞）上是增函数，在[，1]上是减函数，
①0＜a≤时，F（a）=a（a-1）2，G（a）=（a-1）2≥
特别的，当a=时，有G（a）=，
②当＜a≤1时，F（a）=f（）=，G（a）=≥
特别的，当a=1时，有G（a）=，
由①②知，当0＜a≤1时，函数的最小值为．
（3）由已知得h1（x）=x+m-g（x）=2x2-3x-lnx+m-t≥0在（0，+∞）上恒成立，
∵，
∴x∈（0，1）时，h′1（x）＜0，x∈（1，+∞）时，h1（x）＞0
∴x=1时，h′1（x）取极小值，也是最小值，
∴当h1（1）=m-t-1≥0，m≥t+1时，h1（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
同样，h2（x）=f（x）-x-m=x3-2x2-m≥0在（0，+∞）上恒成立，
∵h′2（x）=3x（x-），
∴x∈（0，）时，h′2（x）＜0，x∈（，+∞），h′2（x）＞0，
∴x=时，h2（x）取极小值，也是最小值，
∴=--m≥0，m≤-时，h2（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴t+1≤m≤-，
∵实数m有且只有一个，∴m=-，t=．