如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4...

如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S₁和S₂．
（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；
（2）求 manfen5.com 满分网

的最小值．

（1）根据题意可知F不在BC上，根据余弦定理求出cosA的值，然后根据余弦定理求出EF的长即可；（2）若E、F分别在AC和AB上，设AE=x，AF=y，然后利用三角形的面积公式求出S2和S1=S三角形ABC-S2=，再根据基本不等式求出比值的最值即可，若E、F分别在AC和BC上，设CE=x，CF=y，同上根据基本不等式求出比值的最值即可．【解析】（1）因为：AE=CE= AE+4＞CE+3 所以F不在BC上， AE+AF+EF=CE+CB+FB+EF 所以AE=CE AF=CB+BF 4-BF=BF+3 BF= cosA== 所以EF2=AE2+AF2-2AE×AF×cosA= 所以EF= E为AC中点时，此时小路的长度为（2）若E、F分别在AC和AB上， sinA= 设AE=x，AF=y，所以S2=xysinA= S1=S三角形ABC-S2=2-S2 因为x+y=3-x+4-y+3 所以x+y=5 =-1 xy≤ 当且仅当x=y=时取等号所以= 当且仅当x=y=时取等号最小值是若E、F分别在AC和BC上， sinC= 设CE=x，CF=y 同上可得≥ 当且仅当x=y=取等号若E、F分别在AC和BC上，最小值是

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考点分析：

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在菱形ABCD中，∠A=60°，线段AB的中点是E，现将△ADE沿DE折起到△FDE的位置，使平面FDE和平面EBCD垂直，线段FC的中点是G．
（1）证明：直线BG∥平面FDE；
（2）判断平面FEC和平面EBCD是否垂直，并证明你的结论．
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