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设函数f(x)=x(x-1)2,x>0. (1)求f(x)的极值; (2)设0<...

设函数f(x)=x(x-1)2,x>0.
(1)求f(x)的极值;
(2)设0<a≤1,记f(x)在(0,a]上的最大值为F(a),求函数manfen5.com 满分网的最小值;
(3)设函数g(x)=lnx-2x2+4x+t(t为常数),若使g(x)≤x+m≤f(x)在(0,+∞)上恒成立的实数m有且只有一个,求实数m和t的值.
(1)求导,令f′(x)=0得x=或x=1,令f′(x)>0,令f′(x)<0得f(x)的单调性,确定函数f(x)的极值. (2)由(1)知f(x)的单调性,以极值点为界,把a分成两类讨论,在两类分别求出F(a),求G(a),求G(a)最小值,两个最小值最小者,即为所求. (3)把连等式分成两个不等式x+m-g(x)≥0和f(x)-x-m≥0在(0,+∞)上恒成立的问题,把不等式的左边看作一个函数,利用导数求最小值,两个范围求交集再由实数m有且只有一个,可求m,进而求t. 【解析】 (1)f′(x)=(x-1)2+2x(x-1)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1),x>0.令f′(x)=0,得x=或x=1,f(x),f′(x)随x的变化情况如下表 ∴当x=时,有极大值f()=,当x=1时,有极小值f(1)=0. (2)由(1)知:f(x)在(0,],[1,+∞)上是增函数,在[,1]上是减函数, ①0<a≤时,F(a)=a(a-1)2,G(a)=(a-1)2≥ 特别的,当a=时,有G(a)=, ②当<a≤1时,F(a)=f()=,G(a)=≥ 特别的,当a=1时,有G(a)=, 由①②知,当0<a≤1时,函数的最小值为. (3)由已知得h1(x)=x+m-g(x)=2x2-3x-lnx+m-t≥0在(0,+∞)上恒成立, ∵, ∴x∈(0,1)时,h′1(x)<0,x∈(1,+∞)时,h1(x)>0 ∴x=1时,h′1(x)取极小值,也是最小值, ∴当h1(1)=m-t-1≥0,m≥t+1时,h1(x)≥0在(0,+∞)上恒成立, 同样,h2(x)=f(x)-x-m=x3-2x2-m≥0在(0,+∞)上恒成立, ∵h′2(x)=3x(x-), ∴x∈(0,)时,h′2(x)<0,x∈(,+∞),h′2(x)>0, ∴x=时,h2(x)取极小值,也是最小值, ∴=--m≥0,m≤-时,h2(x)≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴t+1≤m≤-, ∵实数m有且只有一个,∴m=-,t=.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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