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设数列{an}是一个无穷数列,记,n∈N*. (1)若{an}是等差数列,证明:...

设数列{an}是一个无穷数列,记manfen5.com 满分网,n∈N*
(1)若{an}是等差数列,证明:对于任意的n∈N*,Tn=0;
(2)对任意的n∈N*,若Tn=0,证明:an是等差数列;
(3)若Tn=0,且a1=0,a2=1,数列bn满足manfen5.com 满分网,由bn构成一个新数列3,b2,b3,…,设这个新数列的前n项和为Sn,若Sn可以写成ab,(a,b∈N,a>1,b>1),则称Sn为“好和”.问S1,S2,S3,…,中是否存在“好和”,若存在,求出所有“好和”;若不存在,说明理由.
(1)、根据题中已知条件写出2Tn的表达式,将Tn与2Tn相减便可得出-Tn的表达式,将{an}是等差数列代入-Tn的表达式便可证明对于任意的n∈N*,Tn=0; (2)、根据题中条件先将Tn=0,再将Tn+1=0,然后将两式相减得出an+1、an+2与an+3的关系式,再将T1=0,便可得出a1、a2与a3的关系式,即可证明{an}是等差数列; (3)、存在,根已知条件写出数列bn的公式进而求得Sn,再根据题中的新定义写出ab的形式,取出满足条件的a的取值范围,分别讨论当b为偶数和奇数时是否存在“好和”,便可求出当n=3时存在“好和“. 【解析】 (1)对于任意的正整数n, ∵, 将上面两等式作差得: ∵数列an是等差数列, ∴, ∴Tn=0. (2)∵对于任意的正整数n, ∴ 将上面两等式作差得:an+3-2an+2+an+1=0, 由,即a3-a2=a2-a1, 于是,对一切正整数n都是an+1-2an+1+an+1=0,所以数列{an}是等差数列. (3)由(2)知an是等差数列,其公差是1,所以an=a1+(n-1)=n-1,, 当n≥2时,Sn=3+2+4++2n-1=2n+1,S1=3=2+1, 所以对一切正整数n都有Sn=2n+1. 由ab=2n+1,ab-1=2n,a,b∈N,a>1,b>1, ∴a只能是不小于3的奇数. 当b为偶数时,,因为和都是大于1的正整数, 所以存在正整数t,s使得, 2s-2t=2,2t(2s-t-1)=2, ∴2t=2且2s-t-1=1,t=1,s=2,相应的n=3,即有S3=32,S3为好和; 当b为奇数时,ab-1=(a-1)(1+a+a2++ab-1), 由于1+a+a2++ab-1是b个奇数之和,仍为奇数,又a-1为正偶数, 所以(a-1)(1+a+a2++ab-1)不成立,这时没有好和.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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