Question

设数列{a_n}是一个无穷数列，记，n∈N^*．
（1）若{a_n}是等差数列，证明：对于任意的n∈N^*，T_n=0；
（2）对任意的n∈N^*，若T_n=0，证明：a_n是等差数列；
（3）若T_n=0，且a₁=0，a₂=1，数列b_n满足，由b_n构成一个新数列3，b₂，b₃，…，设这个新数列的前n项和为S_n，若S_n可以写成a^b，（a，b∈N，a＞1，b＞1），则称S_n为“好和”．问S₁，S₂，S₃，…，中是否存在“好和”，若存在，求出所有“好和”；若不存在，说明理由．

Answer

（1）、根据题中已知条件写出2Tn的表达式，将Tn与2Tn相减便可得出-Tn的表达式，将{an}是等差数列代入-Tn的表达式便可证明对于任意的n∈N*，Tn=0；
（2）、根据题中条件先将Tn=0，再将Tn+1=0，然后将两式相减得出an+1、an+2与an+3的关系式，再将T1=0，便可得出a1、a2与a3的关系式，即可证明{an}是等差数列；
（3）、存在，根已知条件写出数列bn的公式进而求得Sn，再根据题中的新定义写出ab的形式，取出满足条件的a的取值范围，分别讨论当b为偶数和奇数时是否存在“好和”，便可求出当n=3时存在“好和“．
【解析】
（1）对于任意的正整数n，
∵，

将上面两等式作差得：
∵数列an是等差数列，
∴，
∴Tn=0．

（2）∵对于任意的正整数n，
∴
将上面两等式作差得：an+3-2an+2+an+1=0，
由，即a3-a2=a2-a1，
于是，对一切正整数n都是an+1-2an+1+an+1=0，所以数列{an}是等差数列．

（3）由（2）知an是等差数列，其公差是1，所以an=a1+（n-1）=n-1，，
当n≥2时，Sn=3+2+4++2n-1=2n+1，S1=3=2+1，
所以对一切正整数n都有Sn=2n+1．
由ab=2n+1，ab-1=2n，a，b∈N，a＞1，b＞1，
∴a只能是不小于3的奇数．
当b为偶数时，，因为和都是大于1的正整数，
所以存在正整数t，s使得，
2s-2t=2，2t（2s-t-1）=2，
∴2t=2且2s-t-1=1，t=1，s=2，相应的n=3，即有S3=32，S3为好和；
当b为奇数时，ab-1=（a-1）（1+a+a2++ab-1），
由于1+a+a2++ab-1是b个奇数之和，仍为奇数，又a-1为正偶数，
所以（a-1）（1+a+a2++ab-1）不成立，这时没有好和．