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(1)当k∈N*时,求证:是正整数; (2)试证明大于的最小整数能被2n+1整除...

(1)当k∈N*时,求证:manfen5.com 满分网是正整数;
(2)试证明大于manfen5.com 满分网的最小整数能被2n+1整除(n∈N*)
(1)利用二项式定理对(1+)k和(1-)k展开,求出的第r+1项可以用Ckr•[()k-r+(-1)k-r•()k-r]表示,对k-r分奇偶讨论,即可证明结论; (2)根据-1<1-<0,求出大于的最小整数为,然后利用二项式定理展开即可证明结论. (1)证明:根据二项式定理可得:(1+)k的展开式的通项为Tr+1=Ckr•()k-r,(1-)k的展开式的通项为Tr+1=Ckr•(-1)k-r•()k-r; 则的第r+1项可以用Ckr•[()k-r+(-1)k-r•()k-r]表示; 当k-r为奇数时,Ckr•[()k-r+(-1)k-r•()k-r]=0,当k-r为偶数时,Ckr•[()k-r+(-1)k-r•()k-r]=2Ckr•()k-r,是正整数, 因此是正整数; (2)大于的最小整数为 因为-1<1-<0,所以0<(1-)2n<1, 即(1+)2n加上此小数为一个正整数.因此大于(1+)2n的最小整数为. 记a=,则a2=3,由二项式展开,正负相消得 (1+)2n+(1-)2n=(1+3+2a)n+(1+3-2a)n=2n[(2+a)n+(2-a)n]=2n+1[2n+2n-23•Cn2+…] 因此能被2n+1整除.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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