Question

（1）当k∈N^*时，求证：是正整数；
（2）试证明大于的最小整数能被2ⁿ⁺¹整除（n∈N*）

Answer

（1）利用二项式定理对（1+）k和（1-）k展开，求出的第r+1项可以用Ckr•[（）k-r+（-1）k-r•（）k-r]表示，对k-r分奇偶讨论，即可证明结论；
（2）根据-1＜1-＜0，求出大于的最小整数为，然后利用二项式定理展开即可证明结论．
（1）证明：根据二项式定理可得：（1+）k的展开式的通项为Tr+1=Ckr•（）k-r，（1-）k的展开式的通项为Tr+1=Ckr•（-1）k-r•（）k-r；
则的第r+1项可以用Ckr•[（）k-r+（-1）k-r•（）k-r]表示；
当k-r为奇数时，Ckr•[（）k-r+（-1）k-r•（）k-r]=0，当k-r为偶数时，Ckr•[（）k-r+（-1）k-r•（）k-r]=2Ckr•（）k-r，是正整数，
因此是正整数；
（2）大于的最小整数为
因为-1＜1-＜0，所以0＜（1-）2n＜1，
即（1+）2n加上此小数为一个正整数．因此大于（1+）2n的最小整数为．
记a=，则a2=3，由二项式展开，正负相消得
（1+）2n+（1-）2n=（1+3+2a）n+（1+3-2a）n=2n[（2+a）n+（2-a）n]=2n+1[2n+2n-23•Cn2+…]
因此能被2n+1整除．