Question

设定义在D上的两个函数f（x）、g（x），其值域依次是[a，b]和[c，d]，有下列4个命题：
①“a＞d”是“f（x₁）＞g（x₂）对任意x₁、x₂∈D恒成立”的充要条件；
②“a＞d”是“f（x₁）＞g（x₂）对任意x₁、x₂∈D恒成立”的充分不必要条件；
③“a＞d”是“f（x）＞g（x）对任意x∈D恒成立”的充要条件；
④“a＞d”是“f（x）＞g（x）对任意x∈D恒成立”的充分不必要条件．
其中正确的命题是    （请写出所有正确命题的序号）．

Answer

由a为函数f（x）的最小值，d为函数g（x）的最大值，即可判断出①对②错；以及a＞d⇒f（x）＞g（x）对任意x∈D恒成立，但反之不成立，举反例f（x）=3x+2，g（x）=2x+2，x∈[1，2]即可说明③错④对．
【解析】
因为a为函数f（x）的最小值，d为函数g（x）的最大值．所以a＞d⇔f（x1）＞g（x2）对任意x1、x2∈D恒成立．
故①对②错．
且a＞d⇒f（x）＞g（x）对任意x∈D恒成立，但f（x）＞g（x）对任意x∈D恒成立，不能得出结论a＞d，
比如：f（x）=3x+2，g（x）=2x+2，在x∈[1，2]上，f（x）-g（x）=x＞0即f（x）＞g（x）恒成立．
但f（x）∈[5，8]，g（x）∈[4，6]，即a=5，d=6，此时a＜d，得不到a＞d．
故③错④对．
故正确的命题有①④．
故答案为：①④．