Question

若斜率为2的动直线l与抛物线x²=4y相交于不同的两点A、B，O为坐标原点．
（1）若线段AB上的点P满足，求动点P的轨迹方程；
（2）对于（1）中的点P，若点O关于点P的对称点为Q，且，求直线l在y轴上截距的取值范围．

Answer

（1）设l的方程为y=2x+b，l与C的交点坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），点P（x，y），由，得，由此能得到所求的轨迹方程．
（2）由x1+x2=8，y1+y2=2（x1+x2）+2b=16+2b，知，由此能够求出直线l在y轴上截距的取值范围．
【解析】
（1）设l的方程为y=2x+b，l与C的交点坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），
点P（x，y），由，
得，依题意，
故所求的轨迹方程为x=4（y＞4）．
（2）（理）由（1）知x1+x2=8，y1+y2=2（x1+x2）+2b=16+2b，
由，
解得-26≤b≤10，注意到b＞-4，
∴-4＜b≤10