Question

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）-（k-1）x（x∈R）为偶函数．
（1）求常数k的值；
（2）当x取何值时函数f（x）的值最小？并求出f（x）的最小值；
（3）设（a≠0），且函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）直接利用偶函数的定义即f（-x）=f（x）对所有x∈R都成立，代入整理即可求常数k的值；
（2）先利用（1）的结论对函数进行转化，再利用基本不等式求出真数的取值范围，代入原函数即可求出f（x）的最小值；
（3）把两方程联立，转化为求对应方程只有一个根时满足的条件即可．（注意本题涉及到对数形式，须满足真数大于0这一条件）．
【解析】
（1）∵f（x）为偶函数，
故log4（4-x+1）+（k-1）x=log4（4x+1）-（k-1）x对所有x∈R都成立，（2分）
即（2k-3）x=0对所有x∈R都成立，
∴．（4分）
（2）由（1）得，即．（2分）
，
故当且仅当x=0时，（3分）
f（x）的最小值是．（5分）
（3）由方程（*）
可变形为，由②得或，
令2x=t，则，或
由①得，设（2分）
∴当a＞0时，，（4分）
当a＜0时，h（0）=-1＜0，
∴不存在，
当时，或a=-3，
若，则t=-2，不合题意，舍去，若a=-3，则，满足题意，（5分）
∴当a=-3或a＞1时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点．（7分）