Question

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，，对任意x、y∈（-1，1），恒有成立，又数列a_n满足，设．
（1）在（-1，1）内求一个实数t，使得；
（2）证明数列f（a_n）是等比数列，并求f（a_n）的表达式和的值；
（3）是否存在m∈N^*，使得对任意n∈N^*，都有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）直接利用条件把2f（）进行转化代入已知即可求出实数t；
（2）把f（an+1）利用已知条件进行整理得到f（an+1）与f（an）之间的关系式，即可证明数列f（an）是等比数列，进而求f（an）的表达式；利用求得的f（an）的表达式代入即可求出的值；
（3）利用（2）的结论求出bn的表达式，代入，整理后把恒成立问题转化为恒成立，最后利用函数的单调性求出的最值即可求出m的最小值．
【解析】
（1），
∴（3分）
（2）∵，且
∴，
即
∴f（an）是以-1为首项，2为公比的等比数列，（2分）
∴f（an）=-2n-1．（4分）
∴．（8分）
（3）由（2）得，．（1分）
若对任意n∈N*恒成立，即，恒成立（3分）
∵n∈N*，∴当n=1时，有最大值4，故m＞4．（5分）
又m∈N*，∴存在m≥5，使得对任意n∈N*，有．
所以mmin=5．（7分）