Question

在平面直角坐标系中，点A（1，0）、B（-1，0），已知|CA|=2，BC的垂直平分线l交AC于D，当点C动点时，D点的轨迹图形设为E．
（1）求E的标准方程；
（2）点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求|PO|²+|PF|²的最小值．

Answer

（1）设D（x，y），结合图象由垂直平分线的性质结合椭圆的定义知，点E的轨迹是椭圆，由定义求出参数，得出标准方程；
（2）设 ，得出PO2=x2+y2，PF2=（x-1）2+y2，整理表示出PO|2+|PF|2，再根据p点在曲线上得出2y2=2-x2，从而整理出|PO|2+|PF|2=x2-2x+3=（x-1）2+2 根据x的范围即可求出最小值．
【解析】
（1）设（x，y）
∵l是BC的垂直平分线，
∴|DB|=|DC|
∴|DB|+|DA|=|AC|=2 ＞2=|AB|
∴D点的轨迹图形E是A，B为焦点的椭圆 其中2a=2 ，c=1，
∴a=，b2=a2-c2=1   
∴D点的轨迹图形E：   
（2）设 ，
则PO2=x2+y2，
PF2=（x-1）2+y2   
∴|PO|2+|PF|2=2x2-2x+2y2+1    
点P（x，y）满足 ，
∴2y2=2-x2
∴|PO|2+|PF|2=x2-2x+3=（x-1）2+2     
∵x∈[-，]，∴当x=1时，|PO|2+|PF|2的最小值为2