Question

如图（1），C是直径AB=2的⊙O上一点，AD为⊙O的切线，A为切点，△ACD为等边三角形，连接DO交AC于E，以AC为折痕将△ACD翻折到图（2）的△ACP位置，点P为平面ABC外的点．
（1）求证异面直线AC和PO互相垂直；
（2）若F为PC上一点，且PF=2FC，PO=，求三棱锥P-AOF的体积．

Answer

（1）由已知中，△ACD为等边三角形，AD为⊙O的切线，A为切点，我们易结合线面垂直的判定定理，得到翻折后AC⊥平面PEO，进而根据线面垂直的性质得到异面直线AC和PO互相垂直；
（2）由已知中，△ACD为等边三角形，C是直径AB=2的⊙O上一点，F为PC上一点，且PF=2FC，PO=，根据勾股定理，我们可得OP⊥OA，OP⊥OC，进而根据线面垂直的判定定理得到：OP⊥平面⊙O，求出三棱锥P-ABC的体积后，进一步得到三棱锥P-AOF的体积．
证明：（1）等边三角形△ACD中AD=DC，AD为⊙O的切线，A为切点，
∴DO⊥AC且E为AC中点    （2分）
以AC为折痕将△ACD翻折到图（2）的△ACP位置时，
仍有PE⊥AC，OE⊥AC
∴AC⊥平面PEO  （4分）
∴AC⊥PO        （5分）
【解析】
（2）∵PO=，图（1）中∠DAC=60°，AB=2为⊙O的直径，AD为⊙O的切线，A为切点，
∴Rt△ACB中，AC=AD=DC=AP=PC=，BC=1
∵OA=OB=OC=BC=1    
∴OA2+OP2=AP2，OC2+OP2=PC2    （8分）
∴OP⊥OA，OP⊥OC
∴OP⊥平面⊙O    （10分）
∴三棱锥P-ABC的体积
VP-ABC=•AB•BC•OP=   （12分）
∵F为PC上一点，且PF=2FC，
∴三棱锥P-AOF的体积
VP-AOF=VP-ABC= （14分）