Question

设数列{a_n}为前n项和为S_n，a₁=2，数列{ S_n+2}是以2为公比的等比数列．
（1）求a_n；
（2）抽去数列{a_n}中的第1项，第4项，第7项，…，第3n-2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{c_n}，若{c_n}的前n项和为T_n，求证：＜≤．

Answer

（1）由数列{ Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列可得Sn=2n+1-2，进而可求通项；
（2）新数列{cn}为22，23，25，26，28，29，它的奇数项组成以4为首项、公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列．由此入手能证明：＜≤．
【解析】
（1）由题意得：S1=a1=2，S1+2=4，（1分）
已知数列{ Sn+2}是以4为首项，2为公比的等比数列
所以有：Sn+2=2n+1，Sn=2n+1-2    （4分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n，又a1=2（6分）
所以：an=2n（n∈N，n≥1）（7分）
（2）由（1）知：an=2n（n∈N，n≥1），
∴数列{cn}为22，23，25，26，28，29，…，它的奇数项组成以4为首项，公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；（8分）
∴当 n=2k-1（k∈N*）时，
Tn=（c1+c3+…+c2k-1）+（c2+c4+…+c2k-2）
=（22+25+…+23k-1）+（ 23+26+…+23k-3）
=+=×8k-，（11分）
Tn+1=Tn+cn+1=×8k-+23k=×8k-，（10分）
==+，
∵5×8k-12≥28，∴＜≤3．（11分）
∴当n=2k （k∈N*）时，
Tn=（c1+c3+…+c2k-1）+（c2+c4+…+c2k）
=（22+25+…+23k-1）+（ 23+26+…+23k）
=+=×8k-，（12分）
Tn+1=Tn+cn+1=×8k-+23k+2=×8k-，（13分）
∴==+，∵8k-1≥7，∴＜＜，
∴＜≤．（14分）