Question

函数f（x）=x²-（1+）x+lnx，a∈R．
（1）当a＞1时，讨论f（x）的单调性；
（2）g（x）=b²x²-3x+ln2，当a=2，1＜x≤3时，g（x）＞f（x）恒有解，求b的取值范围．

Answer

（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；
（2）g（x）＞f（x）恒有解，分类参数可得即b2＞3[]有解，利用换元法和导数研究函数k（t）=+t，的最值，即可求得结论．
【解析】
（1）f′（x）=
=[x2-（a+）x+1]=（x-a）（x-）
由题设知x＞0，
a-=
当a＞1时，a-＞0即0＜＜a，则f（x）在（0，）和（a，+∞）上单增，在（ ，a）上单减
（2）由（1）知，a=2，1＜x＜3时，
当x=2时f（x）得到最小值为f（2）=
∴1＜x≤3时，g（x）＞f（x）恒有解，需b2x2-3x+＞在1＜x＜3时有解
即b2＞3[]有解，
令t=，k（t）=+t，，
k′（t）=1-t＞0，∴k（t） 在 上单增
∴
∴需b2 ，即b 或b
∴b的范围是（-∞，）∪（ ，+∞）．