Question

已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面为正方形，O₁，O分别为上、下底面的中心，且A₁在底面ABCD的射影是O．
（Ⅰ）求证：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若点E，F分别在棱上AA₁，BC上，且AE=2EA₁，问点F在何处时，EF⊥AD；
（Ⅲ）若∠A₁AB=60°，求二面角C-AA₁-B的大小（用反三角函数表示）．

Answer

（Ⅰ）连AC，BD，A1C1，则O为AC，BD的交点，易知四边形A1OCO1为平行四边形，则A1O||O1C，而A1O⊥平面ABCD则O1C⊥平面ABCD，又O1C⊂平面O1DC，满足面面垂直的判定定理可得结论；
（Ⅱ）作EH⊥平面ABCD，垂足为H，则EH||A1O，点H在直线AC上，且EF在平面ABCD上的射影为HF．由三垂线定理及其逆定理，知EF⊥AD则CF=2BF，从而可知当F为BC的三等分点（靠近B）时，有EF⊥AD；
（III）过点O作OM⊥AA1，垂足为M，连接BM，由三垂线定理得AA1⊥MB∴∠OMB为二面角C-AA1-B的平面角，在三角形OMB中求出此角即可．
【解析】
（Ⅰ）连AC，BD，A1C1，则O为AC，BD的交点，
O1为A1C1，B1D1的交点．
由平行六面体的性质知：A1O1||OC且A1O1=OC
∴四边形A1OCO1为平行四边形，A1O||O1C
又∵A1O⊥平面ABCD∴O1C⊥平面ABCD
又∵O1C⊂平面O1DC∴平面O1DC⊥平面ABCD
（Ⅱ）作EH⊥平面ABCD，垂足为H，则EH||A1O，点H在直线AC上，
且EF在平面ABCD上的射影为HF．
由三垂线定理及其逆定理，知EF⊥AD⇔FH||AB∵AE=2EA1，∴AH=2HO，从而CH=2AH．又∵HF||AB，∴CF=2BF
从而EF⊥AD⇔CF=2BF∴当F为BC的三等分点（靠近B）时，有EF⊥AD
（III）过点O作OM⊥AA1，垂足为M，连接BM．∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥OB
又∵OB⊥OA∴OB⊥平面A1AO．由三垂线定理得AA1⊥MB∴∠OMB为二面角C-AA1-B的平面角．
在Rt△AMB中，∠MAB=60°，∴
又∵，∴∴
二面角C-AA1-B的大小为