Question

已知数列{a_n}满足S_n+S_n-1=ta_n²（t＞0，n≥2），且a₁=0，n≥2时，a_n＞0．其中S_n是数列a_n的前n项和．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（III）若对于n≥2，n∈N*，不等式++…+＜2恒成立，求t的取值范围．

Answer

（1）充分利用相邻两项之间的关系，利用作差法即可获得数列特点．结合等差数列的特点根据分类讨论即可获得问题的解答；
（2）根据第（1）问题结论利用裂项的方法即可求的不等式左边当n≥2时的前n项和，进而问题转化为t2（1-）＜2对于n≥2，n∈N*恒成立，再结合放缩法即可获得问题的解答．
【解析】
（I）依题意，，
（1）-（2）得an+an-1=t（an2-an-12）（n≥3）．
由已知an+an-1≠0，故an-an-1=（n≥3），
由a1=0，S2+S1=ta22，得a2=ta22，
∴a2=0（舍）或a2=，
即数列{an}从第二项开始是首项为，公差为的等差数列．
所以，（n≥2），又当n=1时，a1==0，
所以an=（n∈N﹡）．
（II）设Tn=++…+
=+++…+
=t2（1-）
要使Tn＜2，对于n≥2，n∈N*恒成立，只要Tn=t2（1-）＜t2≤2成立，所以0＜t≤．