Question

如图，抛物线C₁：x²=2py（p＞0）的焦点为F，椭圆C₂：（a＞b＞0）的离心率e=，C₁与C₂在第一象限的交点为P（）
（1）求抛物线C₁及椭圆C₂的方程；
（2）已知直线l：y=kx+t（k≠0，t＞0）与椭圆C₂交于不同两点A、B，点M满足，直线FM的斜率为k₁，试证明k•k₁＞．

Answer

（1）借助于抛物线过点P，先求抛物线方程，再利用离心率e=，求椭圆方程；
（2）点M满足，等价于点M为线段AB的中点，从而表达出斜率，再进行证明．
【解析】
（1）将P（）代入x2=2py得p=3，∴抛物线C1的方程为x2=6y，焦点F（0，）
把P（）代入得，又e=，∴a=2，b=1故椭圆C2的方程为
（2）由直线l：y=kx+t与联立得（1+4k2）x2+8ktx+4（t2-1）=0，△＞0得1+4k2＞t2
设A（x1，y1），B（x2，y2）则
由题意点M为线段AB的中点，设M（xM，yM），
∴，
∴∴=