Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F分别是A₁B₁、CC₁的中点，过D₁、E、F作平面D₁EGF交BB₁于G．
（Ⅰ）求证：EG∥D₁F；
（Ⅱ）求二面角C₁-D₁E-F的余弦值；
（Ⅲ）求正方体被平面D₁EGF所截得的几何体ABGEA₁-DCFD₁的体积．

Answer

（I）根据正方体的几何特征及面面平行的性质定理，易证得EG∥D1F；
（Ⅱ）以D为原点分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面D1EGF的法向量和平面ABCD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案；
（III）几何体ABGEA1-DCFD1由正方体ABCD-A1B1C1D1减去一个棱台D1FC1-EGB1得到，分别求出正方体ABCD-A1B1C1D1的体积和棱台D1FC1-EGB1的体积，即可得到答案．
证明：（Ⅰ）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1
平面D1EGF∩平面ABB1A1=EG，平面D1EGF∩平面DCC1D1=D1F，
∴EG∥D1F．（3分）
【解析】
（Ⅱ）如图，以D为原点分别以DA、DC、DD1为
x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则有
D1（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1），
∴=（2，1，0），=（0，2，-1）
设平面D1EGF的法向量为=（x，y，z）
则由•=0，和•=0，得，
取x=1，得y=-2，z=-4，∴=（1，-2，-4）（6分）
又平面ABCD的法向量为（0，0，2）
以二面角C1-D1E-F的平面角为θ，
则cosθ=||=
故截面D1EGF与底面ABCD所成二面角的余弦值为．（9分）
【解析】
（Ⅲ）设所求几何体ABGEA1-DCFD1的体积为V，
∵△EGB1∽△D1FC1，D1C1=2，C1F=1，
∴EB1=D1C1=1，B1G=C1F=，
∴=EB1•B1G=•1•=，
=D1C1•C1F=•2•1=1（11分）
故V棱台D1FC1-EGB1=
∴V=V正方体-V棱台D1FC1-EGB1=23-=．（14分）