Question

（理）设6张卡片上分别写有函数f₁（x）=x、f₂（x）=x²、f₃（x）=x³、f₄（x）=sinx、f₅（x）=cosx和f₆（x）=lg（|x|+1）．
（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数
的概率；
（Ⅱ）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
（文）已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．
（Ⅰ） 求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ） 是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．

Answer

理：（Ⅰ）先计算出从六个函数任取两个函数的取法总数，再计算事件“从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数”的取法，只有从三个奇函数中取两个才符合题意，故此事件包含的基本事件数是C32，由公式计算出概率即可．
（II）ξ可取1，2，3，4，分别计算出变量取每个值的概率，得出分布列，再由公式求出期望；
文：（Ⅰ）由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，不妨令垂直于底面的侧棱为PC，则知棱锥的高为PC=2，由公式求出体积；
（Ⅱ） 由此几何体的几何特征知，不论点E在何位置，都有BD⊥AE，可由线面垂直的性质证得BD⊥AE．
（理）【解析】
（Ⅰ）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，则．…（6分）
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4． ，，，…（10分）
故ξ的分布列为

ξ 1 2 3 4
P

…（12分），从而ξ的数学期望为．…（14分）

（文）【解析】
（Ⅰ） 由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2…（3分）
∴，即四棱锥P-ABCD的体积为…（6分）
（Ⅱ） 不论点E在何位置，都有BD⊥AE…（7分）
证明如下：连接AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC．∵PC⊥底面ABCD，且BD⊥平面ABCD，∴BD⊥PC…（10分）
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC…（12分）
∵不论点E在何位置，都有AE⊊平面PAC．∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．
…（14分）