Question

已知函数．
（Ⅰ）设，求t的取值范围；
（Ⅱ）关于x的方程f（x）-m=0，x∈[0，1]，存在这样的m值，使得对每一个确定的m，方程都有唯一解，求所有满足条件的m．
（Ⅲ）证明：当0≤x≤1时，存在正数β，使得不等式成立的最小正数α=2，并求此时的最小正数β．

Answer

（Ⅰ）两边平方，借助于函数定义域x∈[-1，1]，求得t 的取值范围是；（Ⅱ）只需要求出函数x∈[0，1]的值域即可知m值的范围；（Ⅲ）将问题等价转化为 恒成立，∴=，从而求出最小正数．
【解析】
（Ⅰ）函数定义域x∈[-1，1]，，∵t≥0，∴，即t 的取值范围是 （Ⅱ），由（Ⅰ），，g（t） 在 单调递增，所以．设x1，x2∈[0，1]，x1≠x2，则1-x12≠1-x22，即，即t1≠t2．故存在m，使得对每一个 ，方程都有唯一解x∈[0，1]．
（Ⅲ）===．以下证明，对0＜α0，不等式 （0≤x≤1）不成立．反之，由 ，亦即x2-α 成立，因为2-α＞0，，但f（0）=8，这是不可能的．这说明α=2 是满足条件的最小正数．这样，不等式 （x∈[0，1]） 恒成立，即 恒成立，∴=，最小正数β=4