Question

已知数集A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与两数中至少有一个属于A．
（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（2）求a₁的值；当n=3时，数列a₁，a₂，a₃是否成等比数列，试说明理由；
（3）由（2）及通过对A的探究，试写出关于数列a₁，a₂，…，a_n的一个真命题，并加以证明．

Answer

（1）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与 两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；
（2）根据A={a1，a2，…，an} 具有性质P，则anan 与 中至少有一个属于A，由于 1≤a1＜a2＜…an，故anan∉A 从而 求出a1的值，易证 都属于A，从而，，，即a3=a1a3=a22，满足等比数列的定义；
（3）对于一切大于或等于3的奇数n，满足性质P 的数列a1，a2，…，an 成等比数列，由（2），不妨设n=2k+1（k∈N，k≥2）．首先易得a2k+1ai∉A（i=1，…2k），仿照（2）的方法进行证明即可．
【解析】
（1）由于3×4 与 均不属于数集{1，3，4}，∴数集{1，3，4} 不具有性质P …2分
由于1×2，1×3，1×6，2×3，，， 都属于数集{1，2，3，6}，
∴数集{1，2，3，6} 具有性质P…4分
（2）∵A={a1，a2，…，an} 具有性质P，
∴anan 与 中至少有一个属于A，由于 1≤a1＜a2＜…an，故anan∉A …5分
从而 …6分∴a1=1 …7分
当n=3 时，∵，a1=1，a2a3∉A，∴ 都属于A …8分
从而，，，即a3=a1a3=a22，…9分
故数列a1，a2，a3 成等比数列…10分
（3）对于一切大于或等于3的奇数n，满足性质P 的数列a1，a2，…，an 成等比数列． …12分
证明：由（2），不妨设n=2k+1（k∈N，k≥2）．首先易得a2k+1ai∉A（i=1，…2k），知 都属于A，又，从而，有 ，即 a2k+1=a1a2k+1=a2a2k=a3a2k-1=…=ai+2a2k-i=…=a2ak+2=ak+12 …（﹡） 因为ai+ja2k-i＞ai+2a2k-i=a2k+1（0≤i≤k-2，3≤j≤2k-2i），所以，只有，， 均属于A． 将i 从0 到k-2 列举，便得到：
第1组：，共2k-2 项；
第2组：，共2k-4 项；
第3组：，共2k-6 项；
…第k-1 组：，共2 项．上一组的第2项总大于下一组的第1项，
再注意到，故第1组的各数从左到右依次为：a2k-2，a2k-3，a2k-4，…，a2，a1；第2组的各数从左到右依次为：a2k-4，a2k-5，a2k-6，…，a2，a1；第3组的各数从左到右依次为：a2k-6，a2k-7，a2k-8，…，a2，a1； …第k-1 组的各数从左到右依次为：a2，a1．于是，有，由（﹡），，，…，，又，故数列a1，a2，…，an 成等比数列．…15分