Question

设函数f（x）=a+bcosx+csinx的图象过点（0，1）和点，当时，|f（x）|＜2，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．-a＜a＜2

Answer

由已知中函数f（x）=a+bcosx+csinx的图象过点（0，1）和点，我们易找到a，b，c之间的关系，根据辅助角公式，可将函数解析式进行化简，然后分类讨论a取不同值时，|f（x）|＜2的解集情况，综合讨论结果，即可得到答案．
【解析】
已知函数f（x）=a+bcosx+csinx的图象过点（0，1）和（，1），
则a+b=1①，a+c=1②，
由①②得：b=c=1-a，
∴f（x）=a+（1-a）sin（x+45°），可以分以下几种情况：
1）当a=1时，f（x）=1，符合题意；
2）当1-a＞0，即a＜1时，
由得，f（x）∈[1，+（1-）a]，
若|f（x）|＜2，只需+（1-）a＜2，
∴a＞-，
又∵a＜1，所以-＜a＜1：
3）当1-a＜0，即a＞1时，
由得，f（x）∈[+（1-）a，1]，
若|f（x）|＜2，只需+（1-）a＞-2
∴a＜4+3
又∵a＞1，所以1＜a＜4+3
综上所述：a的取值范围-＜a＜4+3
故选C